商业预测

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class: inverse, center, middle

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# 商业预测
## 第三讲：时间序列回归模型及应用

#### 康雁飞 | 北航经管学院 | 数量经济与商务统计系

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# 核心思路

- 我们预测时间序列 `$y$` 时假设它与其它时间序列 `$x$` 之间存在线性关系。

- 例如，我们可以通过广告总花费 `$x$` 来预测月度销量 `$y$`；同样的，我们可以通过气温数据 `$x_1$` 和星期数据 `$x_2$` 来预测日耗电量 `$y$`。

- **被预测变量** `$y$` 有时还称作回归变量、因变量或被解释变量。**预测变量** `$x$` 有时也叫作回归量、自变量或解释变量。在此我们称它们为“被预测变量”和“预测变量”。

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class: inverse, center, middle
# 线性回归模型

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# 例：美国的消费支出

.pull-left[
我们来看1970年第一季度到2016年第三季度之间，美国实际个人消费支出和实际个人可支配收入的季度增长情况。

```r
cbind('消费' = uschange[, "Consumption"],
      '收入' = uschange[, "Income"]) %>%
  autoplot(facets = TRUE, colour=TRUE) +
  ylab("增长率 % ") + xlab("年份") 
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/ConsInc-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 例：美国的消费支出

.pull-left[

```r
uschange %>%
  as.data.frame() %>%
  ggplot(aes(x=Income, y=Consumption)) +
    ylab("季度消费支出变化 %") +
    xlab("季度收入变化 %") +
    geom_point() +
    geom_smooth(method="lm", se=FALSE)+
    theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/ConsInc2-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 例：美国的消费支出（模型估计）

```r
tslm(Consumption ~ Income, data=uschange)
```

```
## 
## Call:
## tslm(formula = Consumption ~ Income, data = uschange)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)       Income  
##      0.5451       0.2806
```

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# 还有没有其他预测变量？

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/MultiPredictors-1.png" alt="1970年第一季度到2016年第三季度之间，工业生产和个人储蓄的季度变化百分比以及失业率的季度变化情况。"  />
<p class="caption">1970年第一季度到2016年第三季度之间，工业生产和个人储蓄的季度变化百分比以及失业率的季度变化情况。</p>
</div>

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# 例：美国的消费支出

.pull-left[
还有没有其他预测变量可用于预测美国消费支出？

```r
uschange %>%
  as.data.frame() %>%
  GGally::ggpairs()
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/ScatterMatrix-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 例：多元线性回归

美国消费的多元线性回归模型为：
`$$y_t=\beta_0 + \beta_1 x_{1,t}+ \beta_2 x_{2,t}+ \beta_3 x_{3,t}+ \beta_4 x_{4,t}+\varepsilon_t,$$`
其中， `$y$` 是实际个人消费支出的百分比变化， `$x_1$` 是实际个人可支配收入的百分比变化， `$x_2$`  是工业产值的百分比变化， `$x_3$` 是个人储蓄的百分比变化， `$x_4$` 是失业率的变化。

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# 例：多元线性回归（模型估计）

```r
fit.consMR <- tslm(Consumption ~ Income + Production + Unemployment + Savings,
  data=uschange)
summary(fit.consMR)
```

```
## 
## Call:
## tslm(formula = Consumption ~ Income + Production + Unemployment + 
##     Savings, data = uschange)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.88296 -0.17638 -0.03679  0.15251  1.20553 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   0.26729    0.03721   7.184 1.68e-11 ***
## Income        0.71449    0.04219  16.934  < 2e-16 ***
## Production    0.04589    0.02588   1.773   0.0778 .  
## Unemployment -0.20477    0.10550  -1.941   0.0538 .  
## Savings      -0.04527    0.00278 -16.287  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3286 on 182 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.754,	Adjusted R-squared:  0.7486 
## F-statistic: 139.5 on 4 and 182 DF,  p-value: < 2.2e-16
```

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# 拟合值

.pull-left[
还有没有其他预测变量可用于预测美国消费支出？

```r
autoplot(uschange[,'Consumption'], series="真实值") +
  autolayer(fitted(fit.consMR), series="拟合值") +
  xlab("年份") + ylab("") +
  ggtitle("美国消费支出的百分比变化") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/usfitted1-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 拟合值与真实值

.pull-left[

```r
cbind(Data=uschange[,"Consumption"], Fitted=fitted(fit.consMR)) %>%
  as.data.frame() %>%
  ggplot(aes(x=Data, y=Fitted)) +
    geom_point() +
    xlab("拟合值（预测值）") +
    ylab("真实值") +
    ggtitle("美国消费支出的百分比变化") +
    geom_abline(intercept=0, slope=1)+
    theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/usfitted2-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 回归模型的评估

模型建立后，有必要绘制残差图以检查模型的假设是否已经满足。此外应该生成一系列图表，以检查拟合模型的不同方面和基本假设是否成立。

```r
checkresiduals(fit.consMR, test=FALSE)
```

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# 基于回归模型的预测

.pull-left[

```r
fit.consBest <- tslm(
  Consumption ~ Income + Savings + Unemployment,
  data = uschange)
h <- 4
newdata <- data.frame(
  Income = c(1, 1, 1, 1),
  Savings = c(0.5, 0.5, 0.5, 0.5),
  Unemployment = c(0, 0, 0, 0))
fcast.up <- forecast(fit.consBest, newdata = newdata)
fcast.up
```
]

.pull-right[

```
##         Point Forecast     Lo 80    Hi 80     Lo 95    Hi 95
## 2016 Q4      0.9885187 0.5619394 1.415098 0.3341497 1.642888
## 2017 Q1      0.9885187 0.5619394 1.415098 0.3341497 1.642888
## 2017 Q2      0.9885187 0.5619394 1.415098 0.3341497 1.642888
## 2017 Q3      0.9885187 0.5619394 1.415098 0.3341497 1.642888
```
]

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class: inverse, center, middle
# 非线性回归模型

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# 例：波士顿马拉松的获胜时间

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# 非线性回归模型

.pull-left[
非线性回归模型包括双对数模型、 对数-线性模型、线性-对数模型、分段线性趋势模型、样条回归等等。

```r
marathon %>%
  splinef(lambda=0) %>%
  autoplot()+
  xlab('年份')+
  ggtitle("")+
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
```
]
.pull-right[
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/splinef-out-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# 残差图

<div class="figure" style="text-align: center">
<img src="BF-L3-regression_files/figure-html/residPiecewise-1.png" alt="三次样条趋势回归结果的残差。"  />
<p class="caption">三次样条趋势回归结果的残差。</p>
</div>

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# 非线性回归模型
非线性回归模型包括双对数模型、 对数-线性模型、线性-对数模型、分段线性趋势模型、样条回归等等。具体请参考[这里](https://otexts.com/fppcn/nonlinear-regression.html)。

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# 实验3

2014年澳大利亚维多利亚州的每日耗电量包含在 `elecdaily` 中。前20天的日度耗电量数据可以通过如下方式获得。
```r
daily20 <- head(elecdaily, 20)
```
1. 绘制上述数据的时序图并将温度作为解释变量对日度耗电量建模。为什么是它们之间是正向相关关系？
2. 绘制残差图。模型是否充分？
3. 若明日最高温度为 `$15^\circ$`，利用模型预测当天的耗电量。并与最高温度为 `$35^\circ$` 时的预测结果进行比较。你觉得预测结果可信吗？
4. 写出模型预测值的预测区间。
5. 利用 `elecdaily` 中的所有数据，绘制日度耗电量和温度的关系图。你对你的模型有什么认识？